在函数的学习过程中, 我们已经学习到两个看函数的视角.
在初中, 我们对于函数的理解是: 当一个变量 $x$ 变化时, 另一个变量 $y$ 也随之变化, 则称 $x$ 为自变量, $y$ 为因变量, $y$ 是 $x$ 的函数.
在高中, 我们学习了集合, 学会了用集合的严格地描述函数: 对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$ , 按照某种确定的对应关系 $f$ , 在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应, 那么就称 $f: A\rightarrow B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 到一个函数, 记作 $y=f(x),x\in A$ .
初中和高中对于函数的理解有何差异和联系?
我们发现, 初中的函数更强调 “变化”, 高中的函数更强调 “对应”. 相比之下, 初中的函数概念更加直观, 易于理解, 高中的函数概念更加严格. 但是, 并不是说到了高中, 初中对于函数的理解就没有价值了.
高中的函数课程中, 我们学习了函数的几个基本性质: 奇偶性, 对称性, 周期性, 单调性. 哪一个更强调 “变化”?
应该说, 奇偶性, 对称性, 周期性都是研究多个自变量对应同一个因变量的问题. 单调性却与之不同, 强调因变量关于自变量的变化情况, 是增大还是减少.
在各类问题的研究中, “变化” 和 “对应” 的视角, 哪一个更重要呢? (1) 物理学中, 物体的位置 $x$ 是时间 $t$ 的函数. 如果我们想研究一个物体的运动, 最需要知道这个函数的什么性质呢? (2) 数学中, 面对一个陌生函数, 例如 $y=x-2\sin x$ , 我们的最终目标, 概括地说就是画出图象. 如果要画出这个函数的图象, 我们最需要知道这个函数的什么性质呢?
(1) 中, 我们很明显更需要知道位移关于时间的单调性, 或者说单调区间, 这最能反映物体运动的情况. 而 (2) 中, 只要知晓一个函数的单调性, 再结合若干特殊点, 就能画出大致图象, 让我们对陌生的函数有一个整体的把握. 奇偶性, 周期性固然也有助于我们画出图象, 但这也依赖我们知晓函数一部分的单调性. 此外, 单调性是函数所具有的普遍性质, 大多我们遇到的函数都能研究其单调性.
当然, 我们不做无意义的论争, 评价到底哪个视角, 哪个性质更重要. 但是, 我们至少可以得出结论: 从 “变化” 的视角研究单调性很重要. 然而, 目前对函数单调性的研究存在哪些问题?
我们知道 $y=x^2$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增. 在空白处画出 $y=x^2$ 的草图. 观察画出的图象, $y=x^2$ 在不同位置单调递增的情况一样吗? 如果不一样, 不一样在哪里?
直观来看, 单调递增的情况一定是不同的, $x$ 越大增速越快. 然而, 进一步思考, 我们会问: 到底有多快? 这个问题提示我们, 以往对单调性的研究仅仅到定性的层面, 缺乏定量手段.
上面物理学的例子中, 物体的位置 $x$ 是时间 $t$ 的函数, 描述 $x$ 随 $t$ 变化快慢, 可以利用单位时间内位移的变化量——速度 $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$ . 我们是如何定量描述一个位移这个函数的变化快慢的? 这给我们怎样的启发? 基于此, 请你尝试概括出研究函数变化快慢的一般方法.
可以总结如下: 在不同的位置, 当自变量变化相同时, 我们可以通过因变量变化的多少, 反映函数变化的快慢. 引入数学语言: 一般地, 对于函数 $y=f(x)$ , 在区间 $[x_0,x_1]$ 上, 我们用
$$ \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} $$
反映函数变化的快慢.
如果定义 $x$ 的变化量 $\Delta x=x_1-x_0$ , $y$ 的变化量 $\Delta y=y_1-y_0=f(x_1)-f(x_0)$ , 则这个式子可以改写为
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} $$
称 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[x_0,x_1]$ 上的平均变化率.
平均变化率的实际意义是, 在区间 $[x_0,x_1]$ 上, 自变量每增加 1 个单位, 因变量平均增加 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 个单位. 因此, 如果自变量增加 $h$ 个单位, 因变量平均增加 $h \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 个单位.
请画图表示出 $(x_0,y_0),(x_1,y_1),\Delta x,\Delta y$ . 观察图象和平均变化率的定义式, 平均变化率有什么几何意义? 不限定函数的前提下, 平均变化率的取值范围是什么? 不同取值反映了什么?
平均变化率的几何意义: 过区间 $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ 的直线斜率. 我们称这条直线为曲线 $y=f(x)$ 的一条割线. 形象来说, 就像这条直线 “切割” 了函数图象一样. 如果不限定函数, 平均变化率的取值为 $\mathbb{R}$ . 平均变化率为正, 说明函数在区间右端点的函数值比左端点大, 或割线斜率为正, 或割线单调递增. 粗糙地讲, 可以说函数在区间 $[x_0,x_1]$ 内总体递增. 平均变化率为负, 则相反. 为 0, 则在这个区间内没有增加也没有减少.
求函数 $y=x^2$ 在区间 $[x_0,x_1]$ 上的平均变化率.
解:
$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{x_1^2-x_0^2}{x_1-x_0} =\frac{(x_1+x_0)(x_1-x_0)}{x_1-x_0}=x_1+x_0 $$
尝试使用平均变化率研究函数 $y=x^2$ 的单调性, 如果成功, 并且结果与我们的二次函数知识相符, 就可以尝试推广. 你遇到了什么困难?
我们发现, 第一个问题就是选区间. 区间选好了, 就可以利用平均变化率看出区间内大致的单调性. 应该选什么区间呢? 仔细考虑一下, 我们的目标是远大的, 希望研究清楚函数在整个定义域上的单调性. 因此区间应该覆盖尽量大的范围. 但是, 一个区间能覆盖的范围终究是有限的, 因为如果区间到了无穷, 我们就没法带入数值算了. 所以, 一个思路就是, 把函数的整个定义域拆成若干区间来研究. 如果这样的话, 那么最简单的思路就是按照一个固定的 $\Delta x$ , 将函数的整个定义域全部拆开, 每个区间单独研究. 也就是说, 我们可以这么拆:
$$ \cdots [-3,-2],[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2],[2,3],\cdots $$
当然这是其中一种情况, 也不一定从 $0$ 开始, 从 $\frac{1}{2}$ , 甚至 $\pi$ 开始也可以. 类似地, 这里令 $\Delta x=1$ , 当然也是随便选的, 也可以改成别的.
但是, 总得确定一种, 要不也没法办了. 对于区间端点位置, 以及区间宽度 $\Delta x$ , 怎么选比较好呢? 画图体会一下.
区间端点位置大概次要一点, 因为无论怎么选, 都能覆盖全部定义域. 真到要说, 可能以函数的对称轴 $x=0$ 为端点之一比较好, 这样两边会比较对称. 接下来我们仔细讨论一下区间宽度的问题.
我们发现: 函数在区间内依然会变化, 而我们用平均变化率反映函数在区间内的变化情况, 是一种近似, 也就是忽略了函数在区间内的变化情况. 区间选的越宽, 平均变化率 “平均” 的就越多, 忽略的也就越多, 由此就更粗糙; 区间选的越小, 平均变化率就越精确, 越能反映函数的单调性. 所以, 区间宽度应该是越窄越好, 也就是 $\Delta x$ 越小越好.
那么, 到底要多小呢? 上面我们随手取的是 $1$ , 那么可以试试 $0.1$ . 那为什么不用 $0.01$ 呢? 我们发现, 将区间减小的工作可以一直进行下去, 直到……
无穷小.
无穷小是多小? 就是无限接近 $0$ , 但永远达不到 $0$ , 因为如果到了 $0$ , 分母就是 $0$ , 分数也就没有意义. 我们把这种情况记为: $\Delta x \to 0$ , 读作 " $\Delta x$ 趋于 $0$ “. 在物理学和其他实际科学中, 以速度为例, 我们当然没法测出无限小的时间, 计算出这个无限小区间内的平均速度. 但在数学上, 我们可以使用分析方法, 看看当 $\Delta x \to 0$ 时会发生什么.
上面我们已经求出来函数 $y=x^2$ 在区间 $[x_0,x_1]$ 上的平均变化率是 $x_0+x_1$ . 如果 $\Delta x \to 0$ , 会发生什么?
$\Delta x \to 0$ , 也就导致 $x_1-x_0 \to 0$ , 也就说明 $x_1$ 和 $x_0$ 非常接近. 那么, 平均变化率就接近 $2x_0$ . 当然, $2x_1$ 也一样, 反正都非常接近了. 我们把这种情况写作
$$ \text{当}\Delta x \to 0 \text{时,} \frac{\Delta y}{\Delta x} \to 2x_0 $$ 或者 $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} = 2x_0 $$ 读作: 当 $x$ 趋于 $0$ 时, $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的极限是 $2x_0$ .
我们发现, 上面的工作通过将区间变得无限小, 硬生生的把 “平均变化率” 这一个区间内的性质, 变成了函数某一个点 $x_0$ 的性质. 这是一个非常重要的突破. 我们把极限情况下的平均变化率, 也就是例子中的 $2x_0$ , 称作函数 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处的瞬时变化率, 也称作函数 $y=x^2$ 在 $x_0$ 处的导数.
仿照问题 6, 观察图象, 瞬时变化率有什么几何意义? 不限定函数的前提下, 瞬时变化率的取值范围是什么? 不同取值反映了什么?
解:
- 平均变化率的几何意义: 过点 $(x_0,y_0)$ 的切线斜率.
- 如果不限定函数, 瞬时变化率的取值也为 $\mathbb{R}$ .
- 瞬时变化率为正, 说明函数在点 $(x_0,y_0)$ 处单调递增. 为负, 则单调递减. 为 0, 则不增不减.
此外, 我们还得到了一个副产物. 函数 $f(x)$ 在某一个点的导数, 也是这一点横坐标 $x_0$ 的函数. 我们称这个函数为函数 $f(x)$ 的导函数, 记作 $f^{\prime}(x)$ , 或 $y^{\prime}$ . 导函数反映了原函数在任意一点的增减性, 因此也就能反映原函数的单调性. 导函数简称导数. 注意区分 “导数” 和 “过某一点的导数”.
做了这么多工作, 请你汇总以上所有, 使用导数研究函数 $y=x^2$ 的单调性.
解: 我们令 $f(x)=x^2$ , 则 $f^{\prime}(x)=2x$ . 令 $f^{\prime}(x)=0$ , 有 $x=0$ . 对 $f(x)$ 的变化情况列表如下:
$$\begin{array}{c|lcr} x & \left(-\infty,0\right) & 0 & \left(0,+\infty\right) \ \hline f^{\prime}(x) & - & 0 & + \ f(x) & \searrow & \text{极小} & \nearrow \end{array}$$
由此可知: $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递减, 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.